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排列組合
1-1 乘法原理與樹狀圖

兌換不同幣值的方法

將 50 元硬幣一枚，換成 1 元、5 元、10 元的硬 將 100 元券一張，換成 5 元券、10 元券、50 元
幣，有 種換法。 券的方法有 種。
設換成 5 元券 x 張、10 元券 y 張、50 元券
列出方程式求整數解個數。
z 張，x，y，z N∪{0}
5x +10y +50z = 100 x +2y +10z =20，則
設 1 元換 x 個，5 元換 y 個，10 元換 z 個，
x，y，z N∪{0} x +5y +10z =50 z 0 1 2
y 0～10 0～5 0
z 0 1 2 3 4 5
x 11 組 6 組 1 組
y 0～10 0～80～60～40～2 0
共有 11 +6+1=18 組。
x 11 組 9 組 7 組 5 組 3 組 1 組

共有 11+9+7+5+3+1=36 組換法。

塗色問題

用 6 種不同顏色塗在下圖之各區域，顏色可重 用 6 種不同顏色塗在下圖之空格，顏色可重複

複使用，但相鄰須異色，其塗法數有 種。 使用，但相鄰不得同色，其塗法有 種。

A、D 同色：6×5×5=150 ； A、D 異

相鄰區域最多者先塗。 色：6×5×4×4=480，共有 150 + 480 = 630
種塗法。
由A B、C D、E 的順序塗色，所 以有
6×5×4×5×5 = 3000 種塗法。

正因數的個數

試問 6048 的正因數有 個，其中為 試求 2520 之正因數有 個，其中不
完全平方數者有 個。 為 30 的倍數者有 個。
3
2
∵2520 = 2 ×3 ×5×7 ∴正因數有(3 + 1)
設正整數A = p 1 p 2 … p n ，其中p 1，p 2，…， (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 48 個，
n
2
1
p n 為 A 的質因數，則 A 的正因數有( 1 +1)
2
又 2520 = (2×3×5)×2 ×3×7
( 2 +1)…( n +1)個。
2
=30×2 ×3×7
5
3
∵6048 = 2 ×3 ×7 ∴正因數個數有(5 + 1) 正因數中為 30 的倍數者有(2 + 1)(1 + 1)
(3 + 1)(1 + 1) = 48 個 (1 + 1) = 12 個
2 2
2
又 6048 = (2 ) ×(3 )×2×3×7 ∴完全平方 ∴不為 30 的倍數者有 48 12 = 36 個。
的正因數有(2 + 1)(1 + 1) = 6 個。

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