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I

2 距離公式及分點坐標

1. 距離公式：若 Ax y(, ) 、 Bx y(, 2 ) 為平面上兩點，則 AB = ( x − ) 2 + ( y − y ) 。 2
2
x
1
2
1
1
1
2
2
ᙏٽ 3 D
)
,
)
在坐標平面上，設 P 、Q 兩點的坐標分別為 (,63− 、 (−−29 ，線段 PQ 的長度為何？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。 [97 護 ]
6
(
26
9
(
(
PQ = ( − − ) 2 + −− − )) 2 = ( − ) 2 + − ) 2 =10
8
3
2. 分點坐標及其運用：
(1) 分點坐標公式：
已知 Ax y(, ) 、 Bx y(, 2 ) 為平面上相異兩點， m ： n
1
2
1
若點 Px y(, ) 在 AB 上（即 AP B− − 共線）且 A(x , y ) P B(x , y )
1
1
2
2
nx + mx ny + my
:
:
AP PB = mn ，則 Px y(, ) = ( 1 2 , 1 2 ) 。 3
mn mn
+
+
+
nA mB
1. 可用「交叉分配： P = 」來記誦此公式。
+
nm
2. 處理「外分點問題」時，可依題意轉換成「內分點問題」進行解題。
(2) 中點坐標公式：已知 Ax y(, ) 、 Bx y(, 2 ) 為平面上相異兩點，若 A、 B 的中點為 M ，則 M
1
1
2
x + x y + y
之坐標為 M ( 1 2 , 1 2 ) 。 4
2 2
ᙏٽ 4 A
在坐標平面上，點 A 、 B 之坐標分別為 (,12− 、 (, )613 ，若 C 點在 AB 上且 BC = 4 AC ，則 C 點
)
:
:
的坐標為何？ [ 提示： BC = 4 AC ⇔ BC AC = 4 1 ]
)
)
(A) (, )21 (B) (,21− (C) (, )12 (D) (,12− 。 [96 護 ]
 x = ⋅ 16() + ⋅41() = 10 = 2

B + ⋅()
⋅ 1 () 4 A  5 5
依內分點公式：C = ，C：  B(6 , 13)
()
4 (
14  y = ⋅ 113 + ⋅−2) = 5 =1 4
+
∴ C(2 , 1)   5 5 :
1 C
_
A(1 , 2)
ᙏٽ 5 C
)
設點 A(, )53 、 B(,26− ，且 M 是 AB 線段的中點，若 M 點的坐標為(, )xy ，則下列何者錯誤？
y
(A) M 在第四象限 (B) x −> 0 (C) x + y > 5 (D) xy <10 。
52 3+ ( 6 ) 7 − 3 7 3
+
−
依中點公式： M ( , ) ，即 M (, ) ，得 x = , y =−
2 2 2 2 2 2
7 3
(
故 (C) x + y = +− ) = 2 < 5（錯誤）
2 2
1-4