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7 7 學習目標回顧：重點掃描
Chapter 3 學習目標回顧
5. 點與圓的關係 2 page103
重點掃描
設點 P (x 0 , y 0 )，圓 O：x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0，則 集結各章末重要內容的統整，協助
1. 圓的標準式 page94
⑴ 若點 P 在圓 O 的外部，則 x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f 0。
2
2
以 O (h , k) 為圓心，r 為半徑的圓方程式為 。
2
2
⑵ 若點 P 在圓 O 上，則 x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f 0。
2. 圓的直徑式 page96 學生掌握全章觀念，並可反覆填入
2
2
已知 A (x 1 , y 1 )、B (x 2 , y 2 ) 為坐標平面上相異的兩點，則以 AB 為直徑的圓方程式為 ⑶ 若點 P 在圓 O 的內部，則 x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f 0。
。 6. 判斷圓與直線的相交情形：
設直線 L 與圓 C 的方程式分別為 L：ax + by + c = 0，圓 C：(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 。
3. 二元二次方程式 x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 的圖形之判別： 關鍵公式，建立完整且有效的複習。
⑴ 當 d 2 + e 2 - 4 f > 0 時： ⑴ 圓心 O (h , k) 到直線 L 的距離為 d(O , L) = ah + bk + c ，則
a 2 + b 2
方程式的圖形為一圓，且圓心為 - c d , - e m ，半徑為 d 2 + e 2 - f 4 。 ① 當 d(O , L) > r 時，直線 L 與圓不相交，即相離。
2 2 2
⑵ 當 d 2 + e 2 - 4 f = 0 時： ② 當 d(O , L) = r 時，直線 L 與圓相交於一點，即相切。
③ 當 d(O , L) < r 時，直線 L 與圓相交於相異兩點，即相割。
d
方程式的圖形為一點，此點為 - c , -
e m 。
2 2 ⑵ 將直線 L 的方程式，代入圓 C 的方程式，消去 x 或 y，可得一個一元二次方程式
⑶ 當 d 2 + e 2 - 4 f < 0 時： Ax 2 + By + C = 0 或 Ay 2 + By + C = 0，令其判別式為 D = B 2 - 4AC，則
方程式的圖形不存在。 ① 當 D > 0 時，方程式有兩相異實根，此時圓 C 和直線 L 相交於兩點。（相割）
4. 點與圓的關係 1 page103 ② 當 D = 0 時，方程式有兩相等實根，此時圓 C 和直線 L 恰交於一點。（相切）
設點 P (x 0 , y 0 )，圓 O：(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 ，則 ③ 當 D < 0 時，方程式無實根，此時圓 C 和直線 L 不相交。（相離）
⑴ 若點 P 在圓 O 的外部，則 (x 0 - h) 2 + (y 0 - k) 2 r 2 。 7. 切線段長 page110
⑴ 由圓 O：(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 外一點 P (x 0 , y 0 ) 到圓 O 的切線段長為
⑵ 若點 P 在圓 O 上，則 (x 0 - h) 2 + (y 0 - k) 2 r 2 。
。
⑶ 若點 P 在圓 O 的內部，則 (x 0 - h) 2 + (y 0 - k) 2 r 2 。
⑵ 由圓 O：x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 外一點 P (x 0 , y 0 ) 到圓 O 的切線段長為
。
112 113
8 課後習題 8
Chapter 3 課後習題
3-1 1. 圓 (x - 6) 2 + (y + 2) 2 = 16 的面積為 11. 若直線 L：x + y + k = 0 與圓 x 2 + y 2 - 2x + 6y - 8 = 0 相交於兩點，則實數 k 的
每一章末設有課後習題，依各節順序 (A) 4r (B) 8r (C) 12r (D) 16r。 範圍為
2. 圓心為 (0 , -2)，且過直線 2x - y = 8 與直線 3x + 2y = 5 的交點之圓方程式為 (A) -8 < k < 4 (B) k < -8 或 k > 4 (C) -4 < k < 8 (D) k < -4 或 k > 8。
(A) x 2 + y 2 + 4y + 1 = 0 (B) x 2 + y 2 - 4y + 1 = 0 12. 若直線 4x - 3y + 5 = 0 與圓 x 2 + y 2 - 2x + 4y + k = 0 相切，則 k =
編排，透過循序的練習後，更加提升 3. 求以 A (-1 , 3)、B (4 , -2) 為直徑的兩端點的圓方程式為 13. 若 x 軸與圓 C：x 2 + y 2 + 4x - 6y + k = 0 相切，求實數 k 之值。
(C) x 2 + y 2 + 4y - 5 = 0 (D) x 2 + y 2 - 4y - 5 = 0。
(A) -3 (B) -4 (C) -5 (D) -6。
(A) x 2 + y 2 + 3x + y - 10 = 0 (B) x 2 + y 2 + 3x - y - 10 = 0 (A) 13 (B) 9 (C) 8 (D) 4 。
(C) x 2 + y 2 - 3x + y - 10 = 0 (D) x 2 + y 2 - 3x - y - 10 = 0。
學習成效。 4. 一圓經過 (1 , 3)、(-3 , 1)、(-2 , 0) 三點，則此圓半徑為 14. 若直線 L：2x - y + 3 = 0 與圓 C：x 2 + y 2 - 4x + 6y - 11 = 0 相交於 A、B 兩點，
則 AB 之長為
(A) 5 (B) 5 (C) 10 (D) 10。 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
5. 設圓 C：2x 2 + 2y 2 - 4x + 12y - 5 = 0，則此圓的圓周長為 15. 若點 P (2 , k) 在圓 x 2 + y 2 + 2x - 4y - 5 = 0 的內部，則實數 k 的範圍為
(A) 5r (B) 52 r (C) 25r (D) 25 2 r 。 (A) 1 < k < 3 (B) k < 1 或 k > 3 (C) -3 < k < -1 (D) k < -3 或 k > -1。
6. 方程式 (x - 1)(x + 3) + (y - 2)(y - 4) = 0 圖形為一圓，其圓心坐標為 16. 過圓 x 2 + y 2 + 4x - 6y - 19 = 0 上一點 P (2 , -1) 的切線方程式為
(A) (-1 , -3) (B) (-1 , 3) (C) (1 , -3) (D) (1 , 3)。 (A) 6x + 7y - 5 = 0 (B) 6x - 7y - 19 = 0
(C) x - y - 3 = 0 (D) x + y - 1 = 0。
7. 若方程式 ax 2 + bxy + 3y 2 - 6x + 12y + c = 0 的圖形為一圓，且半徑為 2，則
a + b - c = 17. 自點 P (5 , -3) 到圓 (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 1 的切線段長為
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
8. 設 k 為實數，若方程式 x 2 + y 2 + 2x - 6y + k 2 + 3k + 6 = 0 的圖形為一圓，則 18. 點 P (1 , -2) 到圓 C：2x 2 + 2y 2 - x - 6y - 3 = 0 的切線段長為
k 的範圍為 (A) 3 (B) 32 (C) 6 (D) 62 。
(A) -4 < k < 1 (B) -1 < k < 4 (C) k < -4 或 k > 1 (D) k < -1 或 k > 4 。 19. 設點 P (1 , -3) 到圓 C：x 2 + y 2 + 4x - 2y - 11 = 0 的最遠距離為 M，最近距離
9. 設圓 C 過 A (1 , 3)、B (-4 , 2) 兩點，且圓心在 x 軸上，若其圓方程式為 為 m，則 M × m =
x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0，則 d + e - f = (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12。
(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14。 20. 直線 L：4x - 3y + 8 = 0，而點 P 在圓 C：(x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 4 上移動，若點
3-2 10. 圓心為 (3 , -4)，且與直線 3x - 4y + 5 = 0 相切的圓方程式為 P 與 L 的最大距離為 M，最小距離為 m，則 M × m =
x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0，則 d + e + f = (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。
(A) -9 (B) -11 (C) -13 (D) -15。
114 115
9 學習診斷 ★ 9 學習診斷
★ 附錄
學習診斷 學習診斷
• 本學習診斷能夠幫助你了解需要再詳讀的章節。 答案錯誤提示章節 >> 應詳讀章節 為各節次具代表的題型，可進行自我
• 請自下列各題中選出正確的答案。
9. 已知 k 為實數，若向量 a = (3 , k - 2) 與向量 b = (k , 2) 的內積為 16，
答案錯誤提示章節 >> 應詳讀章節
則 k =
(A) -2 (B) 2 (C) 4 (D) 8。 2-3
三角函數 診斷、檢視學習效果，體驗全範圍的
1. 設圓之半徑為 6，則以 80c 為圓心角的扇形面積為何？ 10. 若兩向量 a = (3,4)、 b = c2 , 1 - x m 互相垂直，則實數 x =
2
(A) 2r (B) 4r (C) 6r (D) 8r。 1-1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 2-3
2. 若 0 < i < r ，且 tan i = 3 ，則 sin i + cos i = 圓與直線 臨場感，若有作答錯誤的題目，可依
2 4
11. 設圓 C 1 ：(x - 2) 2 + (y - 8) 2 = 9 的半徑為 r 1 ，C 2 ：x 2 + y 2 - 14x + 8y + 1 = 0
(A) 7 (B) 7 (C) 7 (D) 7 。 1-2
6 5 4 3 的半徑為 r 2 ，若 C 1 與 C 2 二圓心的距離為 d，則 d - r 1 - r 2 =
3. 求 cos r + sin r + tan 5 r = (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 3-1
3 4 提示再回放到課文中，做為全冊學習
12. 若 x 2 + y 2 + kx - 4y + k + 4 = 0 表示一圓，則 k 的範圍為何？
(A) -1 (B) - 1 (C) 1 (D) 3 。 1-3
2 2 2 (A) 2 < k < 4 (B) 0 < k < 4
4. 已知△ ABC 中，sin A：sin B：sin C = 2：3：4，求 cos A 之值。 (C) k < 2 或 k > 3 (D) k < 0 或 k > 4。 3-1
(A) 7 (B) 3 (C) 11 (D) - 1 。 1-4 13. 已知一直線方程式 3x - 4y = 5。某圓之圓心為 (3 , -4)，且與直線相切， 巡迴的最終站。
8 4 16 4
則圓方程式為何？
5. 若 y = cos 2x 的週期為 a，y = 2cos x 的週期為 b，則 2a + b = (A) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 6 2 (B) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 2
(A) 2r (B) 4r (C) 5r (D) 6r。 1-5 (C) (x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 6 2 (D) (x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 4 2 。 3-1
平面向量 14. 過圓 C：x 2 + y 2 - 6x + 4y = 12 上一點 P (6 , 2) 的切線方程式為何？
6. 坐標平面上兩點 A (3 , 1)、B (4 , 0)，則向量 AB 的長度為何？ (A) 4x - 3y - 18 = 0 (B) 4x + 3y - 30 = 0
(C) 3x - 4y - 10 = 0 (D) 3x + 4y - 26 = 0。 3-2
(A) 0 (B) 2 (C) 8 (D) 26 。 2-1
15. 自圓 C：(x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 外一點 P (5 , 6) 向此圓作一條切線，切點
7. 已知兩向量 a = (1 , 3) 與向量 b = (3 , 5)，若 a2 - 3 b = (r , s)，則 s - r =
(A) -2 (B) -1 (C) 2 (D) 3。 2-2 為 Q，則 PQ =
(A) 21 (B) 221 (C) 46 (D) 86 。 3-2
8. 已知平面上兩向量 a 、b ，其長度 a = 5、 b = 2，且 a 與 b 的夾角
為 150c，則內積 ab: =
(A) 53 (B) -5 (C) 5 (D) 53 。 2-3
-
附 -2 附 -3