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目錄
★ 本書導覽 ★
1 章首頁
★ 銳角三角函數的定義及基本性質 ★ 1-2
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Chapter 1 三角函數 1-2 ★ 銳角三角函數的定義及基本性質 2
26 在校園裡，想要測量一棵大 以數學相關的魔法趣味開啟新的篇
本章節次 樹的高度，我們可以在陽光強烈
1-1.1 廣義角 教學節數 時，拿一根拖把直立於地面上，
1-1.2 角的單位 章，進入一場奇幻視覺之旅，讓我們
1-1 廣義角及其單位 1-1.3 同界角 利用兩者影子的長度、太陽光平
1-1.4 標準位置角 行，以及國中時所學過三角形相
1-1.5 扇形的弧長與面積 似性質之「兩個相似三角形其對
1-2.1 銳角三角函數的定義 應邊成比例」，就可以求出此大
1-2 銳角三角函數的定 來揭開「魔術帽裡的秘密」吧！
1-2.2 特別角的三角函數值 樹的高度。
義及基本性質 1-2.3 基本關係式 本節將利用此性質，在直角
1-3.1 廣義角的三角函數 三角形上定義出銳角的三角函
1-3.2 象限角的函數值
1-3 廣義角的三角函數 1-3.3 三角函數值在四個象限的正負 數，做為探討三角函數的基礎。
1-3.4 三角函數值的範圍
1-3.5 三角函數值的轉換 2 課文
1-2.1 銳角三角函數的定義
1-4 正弦定理與餘弦 1-4.1 正弦定理
1-4.2 餘弦定理 對於有一等角的直角三角形 9ABC 與 9ABlCl 而言，
定理 1-4.3 三角形的面積 如圖 6 所示，其中，EA 為銳角，EC 與 ECl 皆為直角，
1-5 正弦函數與餘弦函 1-5.1 三角函數的圖形 因為 9ABC 與 9ABlCl 相似，所以其對應邊成比例，即
數週期現象的表徵 BC BC ll AC AC l BC BC ll 使用生動活潑的「圖像式場景」引發
AB = AB l ， AB = AB l ， AC = AC l 。
這些比值與三角形的大小無關，但都隨著 EA 的大小
魔術帽裡的秘密 而變動。角度與這些比值之間形成某些函數的對應關係， 圖 6 學生學習動機，並在圖表中導入關鍵
我們統稱這些函數為「三角函數」。
三角函數最早的起源，是為了測量的需要，例如：古埃及在尼羅河泛濫後土
地邊界的鑑定、保持金字塔每邊斜度相同等。由相似形中各對應邊邊長成比例的 在直角 9ABC 中，若 EC 為直角，對 EA 而言，AB 稱為斜邊，AC 與 BC 分別稱
特性瞭解到：在直角三角形中，已知一個邊長及一個銳角的角度，就可以推得另 為 EA 的鄰邊與對邊，如圖 7 所示。設 a = BC、b = AC、c = AB，將上述的三個函數
一個邊長。這種角度與邊長比值的對應關係，其實就是一種「函數」的概念，因 分別給定下列的名稱： 解說，創新的呈現方式，讓數學課程
為這個函數與直角三角形的銳度角度有關，所以就被稱為「三角函數」。
就像是一場精彩華麗的魔幻饗宴。
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3 雜耍妙錦囊 Chapter 1 ★ 三角函數 ★ 廣義角的三角函數 ★ 1-3
雜 耍 妙錦囊
三角函數的定義 1-3.5 三角函數值的轉換
對重要的觀念施展整理歸納的戲法， 因為同界角具有相同的始邊與終邊，所以，由有向角三角函數的定義可得知：
sin A = EA 的對邊 = a ，稱作 EA 的正弦函數。
斜邊 c 凡是同界角皆有相同的三角函數值，也就是：
雜 耍 妙錦囊
cos A = EA 的鄰邊 = b ，稱作 EA 的餘弦函數。
加強學生對課文的理解。 斜邊 c 若 n 為整數，則下列公式恆成立：
3 tan A = EA 的對邊 = a ，稱作 EA 的正切函數。 圖 7 sin(360c × n + i) = sin i，cos(360c × n + i) = cos i 與 tan(360c × n + i) = tan i。
b
EA 的鄰邊
利用上面的公式，我們可將任意角的三角函數化成 0c 到 360c 之間的三角函數。
其中，sin、cos 和 tan 分別是 sine、cosine 和 tangent 的縮寫。且由定義可知： 例如：sin 780c = sin(360c × 2 + 60c) = sin 60c
當 EA 為銳角時，0 < sin A < 1，0 < cos A < 1 且 tan A > 0。 cos(-1050c) = cos[360c × (-3) + 30c] = cos 30c
接著，將再討論其他的換算公式。以下所討論的各種三角函數值的換算公式中
例題 1 的角 i，可為任意角，但本書僅說明角 i 為銳角的情形。
在 9ABC 中，若 EC = 90c，AB = 13，AC = 12，求 sin A、cos A 和 tan A 的值。 4
由勾股定理知 -i 的三角函數值之轉換： 1 公 式
BC = AB 2 - AC 2 = 13 2 - 12 2 = 5， sin(-i) = -sin i、cos(-i) = cos i、tan(-i) = -tan i
所以，sin A = BC = 5 ，cos A = AC = 12 ，tan A = BC = 5 。 說明
AC
13
AB
12
13
AB
4 公式 常用的直角三角形之三邊長比有 若 i 與 -i 兩個角的終邊與單位圓分別相交於 P、Q 兩點，
(3：4：5)、(5：12：13)、(7：24：
25)、(8：15：17)、(9：40：41)。 如圖 12。
設 P 點的坐標為 (x , y)，因為 P 與 Q 對稱於 x 軸，
所以 Q 點的坐標為 (x , -y)，故
課文中所導出的公式粉墨登場，使 sin(-i) = 1 =- y = -sin i
y
-
1
cos(-i) = x = cos i
跟著做 1 - y y 圖 12
學生加深印象，亦作為解題時應用 1. 在 9ABC 中，若 AB = 25，AC = 7，BC = 24，求 sin A、cos A 和 tan A 的值。 tan(-i) = x =- x = -tan i
的關鍵。 12 27
6 5 例題 + 跟著做
Chapter 1 ★ 三角函數 2-2 隨堂練習
在圖 8 中，設正三角形的邊長 AB = 2，則 AC = 1 AB = 1， BC = 2 2 - 1 2 = 3 ，
2
得三邊長比 AB：AC：BC = 2：1： 3 。 採用「一例題一練習」的概念，做為
基礎
在圖 9 中，設正方形的邊長 AC = BC = 1，則 AB = 1 2 + 1 2 = 2 ，得三邊長比
AC：BC：AB = 1：1： 2 。 1. 9ABC 中，若 AB = (4 , -3)， AC = (7 , 1)，求
⑴ BC 的坐標表示。 ⑵ 9ABC 的周長。
例題 3 2. 設 a = (-1 , 3)、b = (2 , -3)、 c = (3 , -4)，求 a - 2 b + 3 c 與 a - 2 b + 3 c 。 教師示範例題後，輔導學生即時跟著
求 sin 30c、cos 45c、tan 60c 的值。 2 x + = b 2^ b ，求 x 的坐標表示。
3. 設 a = (-2 , 4)、b = (5 , 6)，且 a - x - h a -
30c-60c-90c 的三角形邊長比為 1： 3 ：2；
進階
45c-45c-90c 的三角形邊長比為 1：1： 2 ，作圖如下： 做，是課堂學習的最佳橋段。
4. 右圖正六邊形 ABCDEF 中，設 AB = a 、 AF = b ，
5 5. 若 A (4 , -2)、B (-1 , 3)、C (x , y) 為平面上三點，
以 a 、b 表示 FE 、CE 與 AE 。
且 BC2 = 3 CA ，求實數 x、y 之值。
6. 設 a = (-3 , 2)、b = (1 , 5)、 c = (-5 , 9)，若
c = xa + yb ，實數 x、y 之值。
7. 平面上兩點 A (1 , -1) 與 B (-2 , 3)，設長度為 4 的向量 v 與向量 AB 同方向，求
得 sin 30c = 2 ，cos 45c = 1 = 2 3 = 3 。 v 的坐標表示。
1
2 2 ，tan 60c = 1 b t 的最小值。
8. 設 a = (3 , 1)、b = (1 , -1)，求 a + 6 隨堂練習
跟著做 9. 設 A(5 , -4)、B(3 , -7)、C(4 , 2) 為平面上三點，G 點為其的重心，則
⑴ 如下圖 (a)，9DEF 為 9ABC 放大 3 倍的圖，求 D 點坐標。
3. 完成下表：
⑵ 如下圖 (b)，9PQR 將 A 點平移至 P 點，若 P 點坐標為 (8 , -9)，求 Q 點坐標。
函數
函數值 sin i cos i tan i
角度 i 每一節末設有隨堂練習，並分為「基
30cc r m 6
45cc r m 4
3
60cc r m 礎」與「進階」兩類題型，提供學生
(a) (b)
課後即時評量，達到自我檢視的效果。
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