Page 6 - PC10110_數學A第一冊

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1 章首頁
彩繪拋物線 Chapter 1 12
教學節數
下圖是由同心圓與平行線組合而 以數學相關的魔法趣味開啟新的篇
塗色方向
成的圖形，圖中有許多像菱形的圖 坐標系與函數圖形
形，如右圖一樣，把由交錯點所連結
而成的菱形圖，依照箭頭方向依序塗 章，在充滿奇幻視覺的數學課中，
色，就能浮現出拋物線來。 1-1 直角坐標
1-2 函數及其圖形
一起探索「教室的神秘檔案」吧！
學習目標
1. 絕對值方程式與不等式。
2. 距離公式與分點公式。
3. 函數的圖形與二次函數的最大值與最小值。
教室的神秘檔案
蘋果成熟時，掉落在牛頓（Newton，英國人，西元 1643 ～ 1727）的頭上，因而
發現了「地心引力」。而說過「我思故我在」名言的哲學家笛卡兒（René Descartes，
法國人，西元 1596 ～ 1650），傳說，當他躺在床上觀察一隻蜘蛛爬動時，想出了「直
角坐標系」，因笛卡兒介紹了直角坐標系，為了表彰他對數學的貢獻，直角坐標系又
稱「笛卡兒坐標系」。

2 課文 Chapter 1 坐標系與函數圖形 直角坐標 1-1
1-1.3 直角坐標系 例題 3
設點 ^a , bh 在第四象限，則點 ^b - a , abh 在第幾象限？
使用生動活潑的「圖像式場景」引 直角坐標系（或平面坐標系）是由兩條互相垂直的數線所組成，其中水平數線 解 因為點 ^a , bh 在第四象限，
稱為橫軸或 x 軸；鉛直的數線，稱為縱軸或 y 軸，而二軸的交點稱為原點，通常以
O 表示。在橫軸與縱軸上，通常會分別以向右與向上的方向為正向，並再取相同的 所以 a > 0 且 b < 0，
推得 b - a < 0 且 ab < 0，
單位長，如圖 3 所示。
發學生學習動機，並在圖表中導入 平面上的任一點 P 向兩軸各作垂線，分別交 x 軸與 y 軸於 A、B 兩點。若 A、B 故點 ^b - a , abh 在第三象限。
兩點在 x 軸與 y 軸上所對應的數，分別為 a、b，則以數對 ^a , bh 來表示 P 點的坐標， 跟著做
關鍵解說，創新的呈現方式，讓數 記作 P^a , bh，如圖 4 所示。 3. 設點 ^a , abh 在第三象限，則點 ^b - a , a 3 h 在第幾象限？
學課程就像是一場精彩華麗的魔幻 1-1.4 兩點間的距離
在數線上有相異兩點 A^ah、B^bh，如圖 6。
饗宴。
圖 3 直角坐標系 圖 4 P 點的坐標 圖 6 數線上相異兩點的距離
可得 A、B 兩點的距離就是兩坐標差的絕對值，即
兩個坐標軸將平面劃分成四個區
域，如圖 5 所示，以逆時針方向，依
公式 1 數線上的兩點距離
序稱作第一象限、第二象限、第三象 AB = a - b = b - a
限與第四象限。
x 軸上的點均可表為 ^x , 0h，而 y 在本書中，符號 AB 除表示線段外，
軸上的點均可表為 ^0 , yh。 亦表示線段的長度。
圖 5 象限
4 5
3
Chapter 3 式的運算 多項式的四則運算 3-1 3 公式
公式 1 多項式的除法原理 由上述關係，運用簡單的步驟，可將其轉換成綜合除法的演算式。
]g
0
若 f ]xg、g]xg 為二多項式，且 g x ! ，則恰有一組多項式 q]xg 與 r]xg，
使得 f x = ]g ] g x # ]g q x + ]g r xg（亦即，被除式 = 除式 × 商式 + 餘式），其中， 課文中所導出的公式粉墨登場，使
r]xg = 0 或 deg r x 1 deg g x ] g 。
] g
滿足上式的商式 q]xg 與餘式 r]xg 均是唯一的。 q ]xg
g ]xg f ]xg 學生加深印象，亦作為解題時應用
r ]xg
f ]xg=g ]xg#q ]xg+r ]xg
的關鍵。
3-1.5 綜合除法
在多項式的除法中，若除式是一次式時，用綜合除法較為簡便。接下來就以
1
2 x 3 - 7 x 2 + 除以 x - 3 為例，來說明長除法演化為綜合除法的過程。
首先，觀察分離係數法
4
綜合除法的運算步驟及其注意事項如下：
小老師抄筆記
所以，商式為 x2 2 -- x 3，餘式為 - 8。 ⑴被除式按降冪排列，取其係數，缺項需填 0。 4 小老師抄筆記
觀察上列的演算式，可以發現， ⑵除式為一次式，且領導係數為 1。
⑶當除式為 x - b 時，則取 b；當除式為 x + b 時，則取 - b。即相當於將除式
⑴因除式的領導係數為 1，所以商式與被除式的領導係數，同為 2。
看作是 0，求得之 x 值。
⑵商式中 x 項的係數 - 1 是由 (- 7) - (- 6) 得來的，而 - 6 是由 2×(- 3) 得來的。
⑷書寫時，上下列應對齊，以免發生錯誤。 對重要的觀念施展整理歸納的戲法，
⑶商式中常數項 - 3 是由 0 - 3 得來的，而 3 是由 (- 1)×(- 3) 得來的。
⑸運算時，和長除法不同，上下數字要相加，而非相減。
⑷餘式 - 8 是由 1 - 9 得來的，而 9 是由 (- 3)×(- 3) 得來的。
加強學生對課文的理解。
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